Условие
Определите, сколько целых чисел удовлетворяет неравенству (x+4)/(x−2)≥3.
Подсказка
Не умножайте на знаменатель — перенесите число в левую часть и приведите к общему знаменателю.
Найдите нули числителя и знаменателя и определите знак дроби на каждом промежутке.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Переносим число в левую часть
Умножать на знаменатель x−2 нельзя: его знак неизвестен, и знак неравенства мог бы поменяться. Поэтому переносим 3 влево и приводим к общему знаменателю: (x+4−3·(x−2))/(x−2)≥0, то есть (10−2x)/(x−2)≥0.
- Находим особые точки
Числитель 10−2x равен нулю при x=5, знаменатель — при x=2. Эти точки делят прямую на три промежутка.
- Определяем знаки на промежутках
Подставим по одному числу из каждого промежутка: при x=1 дробь отрицательна; при x=3,5 дробь положительна; при x=6 дробь отрицательна. Нужна дробь ≥0: подходит (2; 5]. Точка x=2 не входит (деление на нуль), а x=5 входит, так как неравенство нестрогое.
- Считаем целые решения
Целые числа из промежутка (2; 5]: 3, 4, 5 — всего 3.
Ответ: 3