Условие
Определите, сколько целых чисел удовлетворяет неравенству (x+11)/(x+1)≥2.
Подсказка
Не умножайте на знаменатель — перенесите число в левую часть и приведите к общему знаменателю.
Найдите нули числителя и знаменателя и определите знак дроби на каждом промежутке.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Переносим число в левую часть
Умножать на знаменатель x+1 нельзя: его знак неизвестен, и знак неравенства мог бы поменяться. Поэтому переносим 2 влево и приводим к общему знаменателю: (x+11−2·(x+1))/(x+1)≥0, то есть (9−x)/(x+1)≥0.
- Находим особые точки
Числитель 9−x равен нулю при x=9, знаменатель — при x=−1. Эти точки делят прямую на три промежутка.
- Определяем знаки на промежутках
Подставим по одному числу из каждого промежутка: при x=−2 дробь отрицательна; при x=4 дробь положительна; при x=10 дробь отрицательна. Нужна дробь ≥0: подходит (−1; 9]. Точка x=−1 не входит (деление на нуль), а x=9 входит, так как неравенство нестрогое.
- Считаем целые решения
Целые числа из промежутка (−1; 9]: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — всего 10.
Ответ: 10