Условие
Какое наибольшее целое число x удовлетворяет неравенству 25^(x−1)<125?
Подсказка
Запишите обе части как степени одного и того же простого числа.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Приводим к одному основанию
Числа 25 и 125 — степени числа 5: 25=5^2, 125=5^3. Тогда 25^(x−1)=(5^2)^(x−1)=5^(2x−2) — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
- Переходим к показателям
5^(2x−2)<5^3. Основание 5>1, функция возрастает, знак сохраняется: 2x−2<3.
- Решаем линейное неравенство
Неравенство 2x−2<3 — линейное. Переносим −2 в правую часть с противоположным знаком: 2x<5. Делим обе части на положительное число 2, знак сохраняется: x<5/2, то есть x<2,5.
- Выбираем целое число
Граница 2,5 нецелая. Наибольшее целое x, удовлетворяющее условию x<2,5, — это 2. Проверка: при x=2 неравенство верно, а при x=3 уже нет.
Ответ: 2