Условие
Найдите количество целых x, для которых верно неравенство log₇(x+3)≤log₇(13−2x).
Подсказка
Сначала запишите условия существования обоих логарифмов.
Логарифмы с одинаковым основанием сравнивают, сравнивая выражения под ними; учтите, больше ли основание 1.
Показать ответ
6
Пошаговое решение
- Находим область определения
Оба выражения под логарифмами должны быть положительны: x+3>0, откуда x>−3; 13−2x>0, откуда x<6,5.
- Переходим к выражениям под логарифмами
Основание 7 больше 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x+3≤13−2x.
- Решаем линейное неравенство
В неравенстве x+3≤13−2x переносим слагаемые с x влево, а числа вправо, меняя их знаки: 3x≤10. Делим на положительное 3, знак сохраняется: x≤10/3.
- Пересекаем с областью определения и считаем
Все три условия вместе: −3<x≤10/3. Целые числа: −2, −1, 0, 1, 2, 3 — всего 6. Без области определения ответ получился бы бесконечным — это частая ошибка.
Ответ: 6