Условие
Найдите количество целых x, для которых верно неравенство log₀,₅(x+6)>log₀,₅(10−x).
Подсказка
Сначала запишите условия существования обоих логарифмов.
Логарифмы с одинаковым основанием сравнивают, сравнивая выражения под ними; учтите, больше ли основание 1.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Находим область определения
Оба выражения под логарифмами должны быть положительны: x+6>0, откуда x>−6; 10−x>0, откуда x<10.
- Переходим к выражениям под логарифмами
Основание 0,5 меньше 1, логарифм убывает: большему логарифму соответствует меньшее число, поэтому знак меняется: x+6<10−x.
- Решаем линейное неравенство
В неравенстве x+6<10−x переносим слагаемые с x влево, а числа вправо, меняя их знаки: 2x<4. Делим на положительное 2, знак сохраняется: x<2.
- Пересекаем с областью определения и считаем
Все три условия вместе: −6<x<2. Целые числа: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1 — всего 7. Без области определения ответ получился бы бесконечным — это частая ошибка.
Ответ: 7