Условие
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце; решения также изображены на координатных прямых. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА: А) (x+1)(x−4)<0; Б) (x−4)/(x+1)≤0; В) (x+1)/(x−4)≤0; Г) (x+1)(x−4)≤0. РЕШЕНИЯ: 1) [−1; 4]; 2) (−1; 4]; 3) [−1; 4); 4) (−1; 4). Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам А, Б, В, Г.
Подсказка
Найдите точки, где множители (или числитель и знаменатель) обращаются в нуль, и расставьте знаки.
Промежутки в правом столбце отличаются только скобками — решите, какие концы включать.
Нуль знаменателя не может входить в решение ни при каком знаке неравенства.
Показать ответ
4231
Пошаговое решение
- Сравниваем произведение и дробь
У произведения (x−a)(x−b) и у дроби (x−a)/(x−b) одинаковые знаки при всех допустимых x: частное и произведение двух чисел имеют один знак. Разница только в концах промежутков: нуль знаменателя никогда не входит в ответ (на нуль делить нельзя), а нуль числителя входит, если неравенство нестрогое.
- Решаем неравенства А и Б
(x+1)(x−4)<0: нули множителей x=−1 и x=4. При x>4 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между −1 и 4 и положительно вне. Нужные x лежат между нулями, концы не включаем: там произведение равно нулю, а неравенство строгое: (−1; 4). (x−4)/(x+1)≤0: знаки дроби такие же, как у произведения (x−4)·(x+1), — отрицательна между −1 и 4, положительна вне. Нужные x лежат между этими точками. Точка x=−1 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=4 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: (−1; 4].
- Решаем неравенства В и Г
(x+1)/(x−4)≤0: знаки дроби такие же, как у произведения (x+1)·(x−4), — отрицательна между −1 и 4, положительна вне. Нужные x лежат между этими точками. Точка x=4 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=−1 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: [−1; 4). (x+1)(x−4)≤0: нули множителей x=−1 и x=4. При x>4 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между −1 и 4 и положительно вне. Нужные x лежат между нулями, концы включаем: там произведение равно нулю, а это разрешено: [−1; 4].
- Сопоставляем с правым столбцом
А) (−1; 4) — это решение 4; Б) (−1; 4] — это решение 2; В) [−1; 4) — это решение 3; Г) [−1; 4] — это решение 1. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 4, 2, 3, 1.
Ответ: 4231