Условие
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце; решения также изображены на координатных прямых. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА: А) (x+3)(x−2)>0; Б) (x+3)/(x−2)≥0; В) (x−2)/(x+3)≥0; Г) (x+3)(x−2)≥0. РЕШЕНИЯ: 1) (−∞; −3)∪[2; +∞); 2) (−∞; −3)∪(2; +∞); 3) (−∞; −3]∪(2; +∞); 4) (−∞; −3]∪[2; +∞). Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам А, Б, В, Г.
Подсказка
Найдите точки, где множители (или числитель и знаменатель) обращаются в нуль, и расставьте знаки.
Промежутки в правом столбце отличаются только скобками — решите, какие концы включать.
Нуль знаменателя не может входить в решение ни при каком знаке неравенства.
Показать ответ
2314
Пошаговое решение
- Сравниваем произведение и дробь
У произведения (x−a)(x−b) и у дроби (x−a)/(x−b) одинаковые знаки при всех допустимых x: частное и произведение двух чисел имеют один знак. Разница только в концах промежутков: нуль знаменателя никогда не входит в ответ (на нуль делить нельзя), а нуль числителя входит, если неравенство нестрогое.
- Решаем неравенства А и Б
(x+3)(x−2)>0: нули множителей x=−3 и x=2. При x>2 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между −3 и 2 и положительно вне. Нужные x лежат левее меньшего нуля и правее большего, концы не включаем: там произведение равно нулю, а неравенство строгое: (−∞; −3)∪(2; +∞). (x+3)/(x−2)≥0: знаки дроби такие же, как у произведения (x+3)·(x−2), — отрицательна между −3 и 2, положительна вне. Нужные x лежат вне отрезка между ними. Точка x=2 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=−3 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: (−∞; −3]∪(2; +∞).
- Решаем неравенства В и Г
(x−2)/(x+3)≥0: знаки дроби такие же, как у произведения (x−2)·(x+3), — отрицательна между −3 и 2, положительна вне. Нужные x лежат вне отрезка между ними. Точка x=−3 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=2 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: (−∞; −3)∪[2; +∞). (x+3)(x−2)≥0: нули множителей x=−3 и x=2. При x>2 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между −3 и 2 и положительно вне. Нужные x лежат левее меньшего нуля и правее большего, концы включаем: там произведение равно нулю, а это разрешено: (−∞; −3]∪[2; +∞).
- Сопоставляем с правым столбцом
А) (−∞; −3)∪(2; +∞) — это решение 2; Б) (−∞; −3]∪(2; +∞) — это решение 3; В) (−∞; −3)∪[2; +∞) — это решение 1; Г) (−∞; −3]∪[2; +∞) — это решение 4. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 2, 3, 1, 4.
Ответ: 2314