Условие
Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце; решения также изображены на координатных прямых. Установите соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА: А) (x−2)(x−5)≤0; Б) (x−2)/(x−5)≤0; В) (x−2)(x−5)≥0; Г) (x−2)/(x−5)≥0. РЕШЕНИЯ: 1) (−∞; 2]∪[5; +∞); 2) (−∞; 2]∪(5; +∞); 3) [2; 5]; 4) [2; 5). Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам А, Б, В, Г.
Подсказка
Найдите точки, где множители (или числитель и знаменатель) обращаются в нуль, и расставьте знаки.
Промежутки в правом столбце отличаются только скобками — решите, какие концы включать.
Нуль знаменателя не может входить в решение ни при каком знаке неравенства.
Показать ответ
3412
Пошаговое решение
- Сравниваем произведение и дробь
У произведения (x−a)(x−b) и у дроби (x−a)/(x−b) одинаковые знаки при всех допустимых x: частное и произведение двух чисел имеют один знак. Разница только в концах промежутков: нуль знаменателя никогда не входит в ответ (на нуль делить нельзя), а нуль числителя входит, если неравенство нестрогое.
- Решаем неравенства А и Б
(x−2)(x−5)≤0: нули множителей x=2 и x=5. При x>5 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между 2 и 5 и положительно вне. Нужные x лежат между нулями, концы включаем: там произведение равно нулю, а это разрешено: [2; 5]. (x−2)/(x−5)≤0: знаки дроби такие же, как у произведения (x−2)·(x−5), — отрицательна между 2 и 5, положительна вне. Нужные x лежат между этими точками. Точка x=5 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=2 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: [2; 5).
- Решаем неравенства В и Г
(x−2)(x−5)≥0: нули множителей x=2 и x=5. При x>5 оба множителя положительны, при переходе через каждый нуль знак меняется: произведение отрицательно между 2 и 5 и положительно вне. Нужные x лежат левее меньшего нуля и правее большего, концы включаем: там произведение равно нулю, а это разрешено: (−∞; 2]∪[5; +∞). (x−2)/(x−5)≥0: знаки дроби такие же, как у произведения (x−2)·(x−5), — отрицательна между 2 и 5, положительна вне. Нужные x лежат вне отрезка между ними. Точка x=5 обращает знаменатель в нуль и не входит никогда; x=2 (нуль числителя) входит, так как неравенство нестрогое. Решение: (−∞; 2]∪(5; +∞).
- Сопоставляем с правым столбцом
А) [2; 5] — это решение 3; Б) [2; 5) — это решение 4; В) (−∞; 2]∪[5; +∞) — это решение 1; Г) (−∞; 2]∪(5; +∞) — это решение 2. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 3, 4, 1, 2.
Ответ: 3412