Условие
Даны четыре линейных неравенства и четыре промежутка, изображённых на координатных прямых (см. рисунок). Для каждого неравенства укажите номер промежутка, который является множеством его решений. НЕРАВЕНСТВА: А) 7x≥3x+8; Б) 3x≥7x+8; В) 7x+8≥3x; Г) 3x+8≥7x. ПРОМЕЖУТКИ: 1) (−∞; 2]; 2) [2; +∞); 3) [−2; +∞); 4) (−∞; −2]. Запишите в ответ номера промежутков для букв А, Б, В, Г подряд.
Подсказка
Приведите каждое неравенство к виду kx>b (или с другим знаком) и посмотрите на знак k.
При делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается.
Закрашенная точка на прямой означает, что граница входит в решение, пустая — не входит.
Показать ответ
2431
Пошаговое решение
- Вспоминаем, когда меняется знак неравенства
Перенос слагаемого из одной части в другую с противоположным знаком не меняет знак неравенства. Деление обеих частей на положительное число знак сохраняет, а на отрицательное — меняет на противоположный: например, из −2x<4 получаем x>−2. Именно здесь чаще всего ошибаются.
- Решаем неравенства А и Б
7x≥3x+8: переносим слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 4x≥8. Делим обе части на положительное число 4, знак сохраняется: x≥2. 3x≥7x+8: переносим слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: −4x≥8. Делим обе части на отрицательное число −4, поэтому знак меняется на противоположный: x≤−2.
- Решаем неравенства В и Г
7x+8≥3x: переносим слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: 4x≥−8. Делим обе части на положительное число 4, знак сохраняется: x≥−2. 3x+8≥7x: переносим слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую, меняя их знаки: −4x≥−8. Делим обе части на отрицательное число −4, поэтому знак меняется на противоположный: x≤2.
- Сопоставляем с правым столбцом
А) [2; +∞) — это решение 2; Б) (−∞; −2] — это решение 4; В) [−2; +∞) — это решение 3; Г) (−∞; 2] — это решение 1. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 2, 4, 3, 1.
Ответ: 2431