Условие
Каждому логарифмическому неравенству из левого столбца соответствует ровно одно множество решений из правого столбца. НЕРАВЕНСТВА: А) log₂(x−1)≤2; Б) log₂(x−1)≥2; В) log₀,₅(x−1)≥2; Г) log₀,₅(x−1)≤2. РЕШЕНИЯ: 1) (1; 5]; 2) [5; +∞); 3) [1,25; +∞); 4) (1; 1,25]. Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам А, Б, В, Г.
Подсказка
Число в правой части запишите как логарифм по тому же основанию.
Если основание меньше 1, при переходе к выражениям под логарифмом знак меняется.
Выражение под логарифмом должно быть положительным — это ограничивает решение слева.
Показать ответ
1243
Пошаговое решение
- Помним про два подводных камня
Первый — область определения: логарифм существует только у положительного числа, поэтому ответ никогда не выходит левее точки, где выражение под логарифмом равно нулю. Второй — основание: при основании больше 1 логарифм возрастает и знак сохраняется, при основании от 0 до 1 — убывает и знак меняется.
- Решаем неравенства А и Б
log₂(x−1)≤2: область определения x−1>0, то есть x>1. Запишем 2 как логарифм: 2=log₂ 4, ведь 2^2=4. Основание больше 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x−1≤4, то есть x≤5. С учётом области определения: 1<x≤5. log₂(x−1)≥2: область определения x−1>0, то есть x>1. Запишем 2 как логарифм: 2=log₂ 4, ведь 2^2=4. Основание больше 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x−1≥4, то есть x≥5. Такие x автоматически лежат в области определения.
- Решаем неравенства В и Г
log₀,₅(x−1)≥2: область определения x−1>0, то есть x>1. Запишем 2 как логарифм: 2=log₀,₅(0,25), ведь (0,5)^2=0,25. Основание 0,5 меньше 1, логарифм убывает, знак меняется: x−1≤0,25, то есть x≤1,25. С учётом области определения: 1<x≤1,25. log₀,₅(x−1)≤2: область определения x−1>0, то есть x>1. Запишем 2 как логарифм: 2=log₀,₅(0,25), ведь (0,5)^2=0,25. Основание 0,5 меньше 1, логарифм убывает, знак меняется: x−1≥0,25, то есть x≥1,25. Такие x автоматически лежат в области определения.
- Сопоставляем с правым столбцом
А) (1; 5] — это решение 1; Б) [5; +∞) — это решение 2; В) (1; 1,25] — это решение 4; Г) [1,25; +∞) — это решение 3. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 1, 2, 4, 3.
Ответ: 1243