Условие
Каждому логарифмическому неравенству из левого столбца соответствует ровно одно множество решений из правого столбца. НЕРАВЕНСТВА: А) log₃ x<2; Б) log₃ x>2; В) log₍₁/₃₎ x>2; Г) log₍₁/₃₎ x<2. РЕШЕНИЯ: 1) (0; 1/9); 2) (1/9; +∞); 3) (9; +∞); 4) (0; 9). Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам А, Б, В, Г.
Подсказка
Число в правой части запишите как логарифм по тому же основанию.
Если основание меньше 1, при переходе к выражениям под логарифмом знак меняется.
Выражение под логарифмом должно быть положительным — это ограничивает решение слева.
Показать ответ
4312
Пошаговое решение
- Помним про два подводных камня
Первый — область определения: логарифм существует только у положительного числа, поэтому ответ никогда не выходит левее точки, где выражение под логарифмом равно нулю. Второй — основание: при основании больше 1 логарифм возрастает и знак сохраняется, при основании от 0 до 1 — убывает и знак меняется.
- Решаем неравенства А и Б
log₃ x<2: область определения x>0. Запишем 2 как логарифм: 2=log₃ 9, ведь 3^2=9. Основание больше 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x<9. С учётом области определения: 0<x<9. log₃ x>2: область определения x>0. Запишем 2 как логарифм: 2=log₃ 9, ведь 3^2=9. Основание больше 1, логарифм возрастает, знак сохраняется: x>9. Такие x автоматически лежат в области определения.
- Решаем неравенства В и Г
log₍₁/₃₎ x>2: область определения x>0. Запишем 2 как логарифм: 2=log₍₁/₃₎(1/9), ведь (1/3)^2=1/9. Основание 1/3 меньше 1, логарифм убывает, знак меняется: x<1/9. С учётом области определения: 0<x<1/9. log₍₁/₃₎ x<2: область определения x>0. Запишем 2 как логарифм: 2=log₍₁/₃₎(1/9), ведь (1/3)^2=1/9. Основание 1/3 меньше 1, логарифм убывает, знак меняется: x>1/9. Такие x автоматически лежат в области определения.
- Сопоставляем с правым столбцом
А) (0; 9) — это решение 4; Б) (9; +∞) — это решение 3; В) (0; 1/9) — это решение 1; Г) (1/9; +∞) — это решение 2. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 4, 3, 1, 2.
Ответ: 4312