Условие
Установите соответствие между показательными неравенствами и множествами их решений. НЕРАВЕНСТВА: А) 3^x>1/9; Б) (1/3)^x>1/9; В) 3^x<1/9; Г) (1/3)^x<1/9. МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ: 1) (−∞; 2); 2) (−∞; −2); 3) (2; +∞); 4) (−2; +∞). В ответе укажите номера множеств решений в порядке букв А, Б, В, Г.
Подсказка
Запишите правую часть каждого неравенства как степень основания левой части.
Сравните основание с единицей: от этого зависит, сохранится ли знак неравенства.
Дробь 1/9 — это степень и числа 3, и числа 1/3: 1/9=3^(−2)=(1/3)².
Показать ответ
4123
Пошаговое решение
- Вспоминаем, как сравнивают степени
Если обе части записаны как степени одного основания a, то при a>1 функция y=a^x возрастает и знак между показателями такой же, как между степенями. При 0<a<1 функция убывает — знак меняется на противоположный. Поэтому сначала представляем правую часть как степень того же основания.
- Решаем неравенства А и Б
3^x>1/9: запишем правую часть как степень основания: 1/9=3^(−2). Основание 3 больше 1, функция y=3^x возрастает, поэтому знак между показателями тот же: x>−2. (1/3)^x>1/9: запишем правую часть как степень основания: 1/9=(1/3)^2. Основание 1/3 меньше 1, функция y=(1/3)^x убывает: большему значению степени соответствует меньший показатель, знак меняется: x<2.
- Решаем неравенства В и Г
3^x<1/9: запишем правую часть как степень основания: 1/9=3^(−2). Основание 3 больше 1, функция y=3^x возрастает, поэтому знак между показателями тот же: x<−2. (1/3)^x<1/9: запишем правую часть как степень основания: 1/9=(1/3)^2. Основание 1/3 меньше 1, функция y=(1/3)^x убывает: большему значению степени соответствует меньший показатель, знак меняется: x>2.
- Сопоставляем с правым столбцом
А) (−2; +∞) — это решение 4; Б) (−∞; 2) — это решение 1; В) (−∞; −2) — это решение 2; Г) (2; +∞) — это решение 3. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 4, 1, 2, 3.
Ответ: 4123