Условие
Установите соответствие между показательными неравенствами и множествами их решений. НЕРАВЕНСТВА: А) 2^x≥4; Б) (0,5)^x≥4; В) 2^x≤4; Г) (0,5)^x≤4. МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ: 1) (−∞; 2]; 2) (−∞; −2]; 3) [2; +∞); 4) [−2; +∞). В ответе укажите номера множеств решений в порядке букв А, Б, В, Г.
Подсказка
Запишите правую часть каждого неравенства как степень основания левой части.
Сравните основание с единицей: от этого зависит, сохранится ли знак неравенства.
Десятичную дробь удобно сначала записать обыкновенной: 0,5=1/2, а 4=2²=(1/2)^(−2).
Показать ответ
3214
Пошаговое решение
- Вспоминаем, как сравнивают степени
Если обе части записаны как степени одного основания a, то при a>1 функция y=a^x возрастает и знак между показателями такой же, как между степенями. При 0<a<1 функция убывает — знак меняется на противоположный. Поэтому сначала представляем правую часть как степень того же основания.
- Решаем неравенства А и Б
2^x≥4: запишем правую часть как степень основания: 4=2^2. Основание 2 больше 1, функция y=2^x возрастает, поэтому знак между показателями тот же: x≥2. (0,5)^x≥4: запишем правую часть как степень основания: 4=(0,5)^(−2). Основание 0,5 меньше 1, функция y=(0,5)^x убывает: большему значению степени соответствует меньший показатель, знак меняется: x≤−2.
- Решаем неравенства В и Г
2^x≤4: запишем правую часть как степень основания: 4=2^2. Основание 2 больше 1, функция y=2^x возрастает, поэтому знак между показателями тот же: x≤2. (0,5)^x≤4: запишем правую часть как степень основания: 4=(0,5)^(−2). Основание 0,5 меньше 1, функция y=(0,5)^x убывает: большему значению степени соответствует меньший показатель, знак меняется: x≥−2.
- Сопоставляем с правым столбцом
А) [2; +∞) — это решение 3; Б) (−∞; −2] — это решение 2; В) (−∞; 2] — это решение 1; Г) [−2; +∞) — это решение 4. Все номера разные, каждое решение использовано ровно один раз. Выписываем номера по порядку букв А, Б, В, Г: 3, 2, 1, 4.
Ответ: 3214