Условие
Открытки собирают в наборы. Если собирать наборы по 10, по 12 или по 15 открыток, то каждый раз для последнего набора не хватает двух открыток. Сколько всего открыток, если их больше 400, но меньше 450?
Подсказка
Сколько нужно добавить, чтобы все упаковки стали полными?
Полученное число делится на все размеры упаковок сразу — найдите их НОК.
Показать ответ
418
Пошаговое решение
- Переходим к числу, которое делится без остатка
Обозначим количество через N. Если добавить две открытки, то при любом способе раскладки все упаковки станут полными. Значит, N+2 делится и на 10, и на 12, и на 15, то есть на их наименьшее общее кратное.
- Находим НОК
10=2·5, 12=2²·3, 15=3·5. НОК содержит каждое простое число в наибольшей из встречающихся степеней: НОК=2²·3·5=60.
- Выписываем подходящие числа
N=60k−2: 58, 118, 178, 238, 298, 358, 418, 478, … Между 400 и 450 лежит только 418.
- Проверяем
418=10·41+8; 418=12·34+10; 418=15·27+13 — каждый раз до следующего кратного не хватает 2.
Ответ: 418