Условие
Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 6, а их наименьшее общее кратное равно 72. Одно из чисел равно 18. Найдите другое число.
Подсказка
Как связаны произведение двух чисел, их НОД и НОК?
Проверьте ответ, разложив оба числа на простые множители.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Вспоминаем связь НОД и НОК
Для любых двух натуральных чисел a и b верно: НОД(a; b)·НОК(a; b)=a·b. Почему: в разложении на простые множители НОД берёт каждое простое число в меньшей из двух степеней, а НОК — в большей, и вместе меньшая и большая степени дают сумму степеней, как в произведении a·b.
- Находим второе число
6·72=18·b, то есть 432=18·b, откуда b=432:18=24.
- Проверяем через разложения
18=2·3², 24=2³·3. Степени простых множителей у 2: в 18 степень 1, в 24 — 3; у 3: в 18 степень 2, в 24 — 1. Меньшие степени дают НОД=2·3=6, большие — НОК=2³·3²=72.
- Разбираем типичную ошибку
Нельзя просто разделить НОК на данное число: 72:18=4, но НОД(18; 4)=2, а не 6. Нужно пользоваться именно равенством НОД·НОК=a·b.
Ответ: 24