Условие
Натуральное число n при делении на 13 даёт остаток 10. Найдите остаток от деления числа n²−2n на 13.
Подсказка
Запишите n как 13k+10.
Слагаемые, кратные 13, не влияют на остаток — подставьте вместо n сам остаток.
Проверьте ответ, взяв конкретное число с нужным остатком.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Записываем число n
Раз остаток равен 10, то n=13k+10 для некоторого целого k.
- Понимаем, почему можно заменить n на остаток
Если к числу прибавить кратное 13, остаток от деления на 13 не изменится. При возведении в квадрат и умножении числа 13k+10 все слагаемые, где есть 13k, делятся на 13: например, (13k+10)²=169k²+260k+100. Поэтому n²−2n даёт тот же остаток, что и то же выражение, в котором вместо n стоит 10.
- Считаем выражение для остатка
Подставляем 10: 10²−2·10=100−20=80. Делим на 13: 80=13·6+2. Остаток 2.
- Проверяем на конкретном числе
Возьмём n=49: 49=13·3+10. Тогда n²−2n=2303=13·177+2 — остаток тот же.
Ответ: 2