Условие
В записи 3*5* замените звёздочки цифрами так, чтобы получилось четырёхзначное число, делящееся на 72. Найдите это число.
Подсказка
72=8·9: какие два признака делимости нужно проверить?
Сумма цифр должна делиться на 9 — найдите возможные значения x+y.
Для делимости на 8 проверьте число, составленное из трёх последних цифр.
Показать ответ
3456
Пошаговое решение
- Разбираем делимость на 72
72=8·9, числа 8 и 9 взаимно просты. Сумма цифр должна делиться на 9, а число из трёх последних цифр — на 8. Обозначим звёздочки x (второе место) и y (четвёртое место).
- Используем сумму цифр
Сумма 3+x+5+y=8+x+y лежит от 8 до 26 и делится на 9, только если она равна 9 или 18, то есть x+y=1 или x+y=10. Кроме того, число, кратное 8, чётное, поэтому y — чётная цифра.
- Выписываем кандидатов
При x+y=1 и чётном y: x=1, y=0 — число 3150. При x+y=10 и чётном y: 3258, 3456, 3654, 3852.
- Проверяем три последние цифры
150=8·18+6, 258=8·32+2, 456=8·57, 654=8·81+6, 852=8·106+4. На 8 делится только 456, поэтому подходит единственное число 3456. Проверка: 3+4+5+6=18, 3456:72=48.
Ответ: 3456