Условие
Натуральное число n при делении на 7 даёт остаток 4. Найдите остаток от деления числа n²+3n+5 на 7.
Подсказка
Запишите n как 7k+4.
Слагаемые, кратные 7, не влияют на остаток — подставьте вместо n сам остаток.
Проверьте ответ, взяв конкретное число с нужным остатком.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Записываем число n
Раз остаток равен 4, то n=7k+4 для некоторого целого k.
- Понимаем, почему можно заменить n на остаток
Если к числу прибавить кратное 7, остаток от деления на 7 не изменится. При возведении в квадрат и умножении числа 7k+4 все слагаемые, где есть 7k, делятся на 7: например, (7k+4)²=49k²+56k+16. Поэтому n²+3n+5 даёт тот же остаток, что и то же выражение, в котором вместо n стоит 4.
- Считаем выражение для остатка
Подставляем 4: 4²+3·4+5=16+12+5=33. Делим на 7: 33=7·4+5. Остаток 5.
- Проверяем на конкретном числе
Возьмём n=25: 25=7·3+4. Тогда n²+3n+5=705=7·100+5 — остаток тот же.
Ответ: 5