Условие
Натуральное число n при делении на 9 даёт остаток 5. Найдите остаток от деления числа 2n²+7 на 9.
Подсказка
Запишите n как 9k+5.
Слагаемые, кратные 9, не влияют на остаток — подставьте вместо n сам остаток.
Проверьте ответ, взяв конкретное число с нужным остатком.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Записываем число n
Раз остаток равен 5, то n=9k+5 для некоторого целого k.
- Понимаем, почему можно заменить n на остаток
Если к числу прибавить кратное 9, остаток от деления на 9 не изменится. При возведении в квадрат и умножении числа 9k+5 все слагаемые, где есть 9k, делятся на 9: например, (9k+5)²=81k²+90k+25. Поэтому 2n²+7 даёт тот же остаток, что и то же выражение, в котором вместо n стоит 5.
- Считаем выражение для остатка
Подставляем 5: 2·5²+7=50+7=57. Делим на 9: 57=9·6+3. Остаток 3.
- Проверяем на конкретном числе
Возьмём n=32: 32=9·3+5. Тогда 2n²+7=2055=9·228+3 — остаток тот же.
Ответ: 3