Условие
Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 5 и на 6 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.
Подсказка
Если остатки при делении на 5 и на 6 равны, то на что делится разность числа и остатка?
Цифры числа, у которого средняя цифра — среднее крайних, идут с одинаковым шагом.
Выпишите такие числа по порядку и проверьте остаток при делении на произведение делителей.
Показать ответ
543
Пошаговое решение
- Превращаем «равные остатки» в одно условие
Пусть при делении на 5 и на 6 остаток один и тот же — r. Тогда число n−r делится и на 5, и на 6, а так как 5 и 6 взаимно просты, то и на 5·6=30. Остаток меньше каждого делителя и не равен нулю, поэтому r — от 1 до 4. Итак, n при делении на 30 даёт остаток от 1 до 4.
- Описываем числа со «средней» цифрой
Если средняя цифра b — среднее арифметическое крайних a и c, то a+c=2b: цифры идут с равным шагом, например 1, 3, 5 или 8, 6, 4. Для каждой первой цифры a и средней b последняя равна c=2b−a и должна быть от 0 до 9.
- Перебираем такие числа
Выписываем числа с этим свойством по возрастанию, больше 400, и делим каждое на 30 с остатком: 420=30·14+0; 432=30·14+12; 444=30·14+24; 456=30·15+6; 468=30·15+18; 531=30·17+21; 543=30·18+3. Первые остатки не подходят (нуль или слишком большой), а остаток 3 подходит.
- Проверяем ответ
543=5·108+3 и 543=6·90+3: остатки равны 3 и не равны нулю. Цифры: 5+3=8=2·4. Так как перебор шёл по возрастанию, это наименьшее подходящее число.
Ответ: 543