Условие
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 15 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 88 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Примите весь путь за 1 и выразите время каждого автомобилиста через скорость первого.
Приравняйте времена: у второго оно складывается из двух половин пути.
Получится квадратное уравнение с двумя положительными корнями — выберите корень по условию.
Показать ответ
55
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь примем за 1 (расстояние не дано, и в ответ оно не войдёт). Тогда первый затратил 1/x ч. Второй первую половину ехал со скоростью x−15 км/ч и затратил 0,5/(x−15) ч, вторую — со скоростью 88 км/ч и затратил 0,5/88 ч.
- Составляем уравнение
Они прибыли одновременно, значит, времена равны: 1/x=1/(2(x−15))+1/176. Нельзя брать среднее арифметическое скоростей: половины пути второй проезжал за разное время.
- Избавляемся от дробей
Умножим обе части на 176x(x−15): 176(x−15)=88x+x(x−15). Раскроем скобки: 176x−2640=88x+x²−15x. Перенесём всё вправо: x²−103x+2640=0.
- Решаем уравнение
D=(−103)²−4·2640=10609−10560=49=7². x₁=(103+7)/2=55, x₂=(103−7)/2=48. Оба корня больше 15, то есть оба формально возможны. Выбрать помогает условие: скорость больше 50 км/ч, поэтому x=55.
- Проверяем
Второй ехал 55−15=40 км/ч и 88 км/ч. На путь длиной 1 он затратил 0,5/40+0,5/88=1/55 ч, а первый 1/55 ч — одно и то же время. Корень 48 отброшен только из-за условия «больше 50 км/ч».
Ответ: 55