Условие
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 8 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 30 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Примите весь путь за 1 и выразите время каждого автомобилиста через скорость первого.
Приравняйте времена: у второго оно складывается из двух половин пути.
Получится квадратное уравнение с двумя положительными корнями — выберите корень по условию.
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь примем за 1 (расстояние не дано, и в ответ оно не войдёт). Тогда первый затратил 1/x ч. Второй первую половину ехал со скоростью x−8 км/ч и затратил 0,5/(x−8) ч, вторую — со скоростью 90 км/ч и затратил 0,5/90 ч.
- Составляем уравнение
Они прибыли одновременно, значит, времена равны: 1/x=1/(2(x−8))+1/180. Нельзя брать среднее арифметическое скоростей: половины пути второй проезжал за разное время.
- Избавляемся от дробей
Умножим обе части на 180x(x−8): 180(x−8)=90x+x(x−8). Раскроем скобки: 180x−1440=90x+x²−8x. Перенесём всё вправо: x²−98x+1440=0.
- Решаем уравнение
D=(−98)²−4·1440=9604−5760=3844=62². x₁=(98+62)/2=80, x₂=(98−62)/2=18. Оба корня больше 8, то есть оба формально возможны. Выбрать помогает условие: скорость больше 30 км/ч, поэтому x=80.
- Проверяем
Второй ехал 80−8=72 км/ч и 90 км/ч. На путь длиной 1 он затратил 0,5/72+0,5/90=1/80 ч, а первый 1/80 ч — одно и то же время. Корень 18 отброшен только из-за условия «больше 30 км/ч».
Ответ: 80