Условие
Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Подсказка
Примите весь путь за 1 и выразите время каждого автомобилиста через скорость первого.
Приравняйте времена: у второго оно складывается из двух половин пути.
Получится квадратное уравнение с двумя положительными корнями — выберите корень по условию.
Показать ответ
72
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть скорость первого x км/ч, а весь путь примем за 1 (расстояние не дано, и в ответ оно не войдёт). Тогда первый затратил 1/x ч. Второй первую половину ехал со скоростью x−12 км/ч и затратил 0,5/(x−12) ч, вторую — со скоростью 90 км/ч и затратил 0,5/90 ч.
- Составляем уравнение
Они прибыли одновременно, значит, времена равны: 1/x=1/(2(x−12))+1/180. Нельзя брать среднее арифметическое скоростей: половины пути второй проезжал за разное время.
- Избавляемся от дробей
Умножим обе части на 180x(x−12): 180(x−12)=90x+x(x−12). Раскроем скобки: 180x−2160=90x+x²−12x. Перенесём всё вправо: x²−102x+2160=0.
- Решаем уравнение
D=(−102)²−4·2160=10404−8640=1764=42². x₁=(102+42)/2=72, x₂=(102−42)/2=30. Оба корня больше 12, то есть оба формально возможны. Выбрать помогает условие: скорость больше 40 км/ч, поэтому x=72.
- Проверяем
Второй ехал 72−12=60 км/ч и 90 км/ч. На путь длиной 1 он затратил 0,5/60+0,5/90=1/72 ч, а первый 1/72 ч — одно и то же время. Корень 30 отброшен только из-за условия «больше 40 км/ч».
Ответ: 72