Условие
В коробке 50 шариков, синие и белые. Известно, что среди любых 22 шариков есть хотя бы один синий, а среди любых 30 шариков — хотя бы один белый. Сколько синих шариков в коробке?
Подсказка
Что было бы, если бы предметов одного вида оказалось столько же, сколько в «любой группе»?
Получите оценку сверху для каждого вида и сравните сумму оценок с общим количеством.
Показать ответ
29
Пошаговое решение
- Переводим первое условие на язык количеств
Если бы белых было 22 или больше, можно было бы взять 22 шарика только из белых — и среди них не нашлось бы ни одного синего. Это противоречит условию, значит, белых не больше 22−1=21.
- Так же разбираем второе условие
Если бы синих было 30 или больше, можно было бы взять 30 шариков только из синих, и среди них не было бы ни одного белого. Значит, синих не больше 30−1=29.
- Сравниваем с общим количеством
Всего 50 шариков, а наибольшие возможные количества дают в сумме 21+29=50. Если бы хоть одно количество было меньше своей границы, в сумме не набралось бы 50. Поэтому синих ровно 29, а белых ровно 21.
- Проверяем
Пусть синих 29, белых 21. Любые 22 шариков не могут состоять только из белых — их всего 21. Любые 30 шариков не могут состоять только из синих — их всего 29. Оба условия выполнены.
Ответ: 29