Условие
В тесте 40 вопросов. За каждый верный ответ начисляют 4 балла, за каждый неверный снимают 7 баллов, за вопрос без ответа баллы не начисляют и не снимают. Ученик набрал 100 баллов, причём хотя бы на один вопрос он ответил неверно. Сколько верных ответов дал ученик?
Подсказка
Составьте уравнение для числа верных и неверных ответов.
Посмотрите, на что должно делиться число неверных ответов, и не забудьте про общее число вопросов.
Показать ответ
32
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
Пусть верных ответов c, неверных w. Тогда 4c−7w=100, причём w≥1 (есть хотя бы одна ошибка) и c+w≤40 (вопросов всего 40).
- Выясняем, каким может быть w
Перепишем: 4c=100+7w. Левая часть делится на 4, число 100 тоже делится на 4 (100=4·25), значит, 7w делится на 4. Числа 7 и 4 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому само w делится на 4: w=0, 4, 8, …
- Перебираем подходящие значения
w=0 не подходит: ошибка была. При w=4: 4c=100+28=128, c=32; всего ответов 32+4=36≤40 — подходит. При w=8: c=25+14=39, и тогда c+w=47>40 — вопросов не хватит. Большие w тем более не подходят.
- Проверяем ответ
4·32−7·4=128−28=100 баллов, отвечено на 36 вопросов из 40. Без условия про ошибку подошёл бы и вариант c=25, w=0 — именно поэтому это условие дано.
Ответ: 32