Условие
В таблице 4 столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы записали натуральное число так, что сумма чисел в первом столбце равна 64, во втором — 70, в третьем — 77, в четвёртом — 85, а сумма чисел в каждой строке больше 17, но меньше 20. Сколько строк в таблице?
Подсказка
Сложите все числа таблицы двумя способами: по столбцам и по строкам.
Какие значения может принимать сумма одной строки? Оцените через них число строк сверху и снизу.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Находим сумму всех чисел таблицы
Все числа можно сложить по столбцам: 64+70+77+85=296. Если складывать по строкам, получится то же число 296.
- Понимаем, какой бывает сумма строки
Сумма строки — натуральное число больше 17 и меньше 20, то есть 18 или 19. Если строк n, то вся сумма не меньше 18n и не больше 19n.
- Оцениваем число строк
При n=15 вся сумма не больше 19·15=285<296 — мало даже при самых больших суммах строк. При n=17 вся сумма не меньше 18·17=306>296 — слишком много. Меньшие и большие n тем более не подходят. Остаётся n=16: 18·16=288≤296≤304=19·16.
- Убеждаемся, что такая таблица существует
При 16 строках нужно 8 строк с суммой 19 и 8 с суммой 18: 19·8+18·8=296. Пример: 5 строк (3, 3, 5, 7); 3 строки (3, 5, 4, 6); 8 строк (5, 5, 5, 4). Суммы по столбцам получаются ровно 64, 70, 77, 85.
Ответ: 16