Условие
В таблице 3 столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы записали натуральное число так, что сумма чисел в первом столбце равна 95, во втором — 104, в третьем — 112, а сумма чисел в каждой строке больше 19, но меньше 22. Сколько строк в таблице?
Подсказка
Сложите все числа таблицы двумя способами: по столбцам и по строкам.
Какие значения может принимать сумма одной строки? Оцените через них число строк сверху и снизу.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Находим сумму всех чисел таблицы
Все числа можно сложить по столбцам: 95+104+112=311. Если складывать по строкам, получится то же число 311.
- Понимаем, какой бывает сумма строки
Сумма строки — натуральное число больше 19 и меньше 22, то есть 20 или 21. Если строк n, то вся сумма не меньше 20n и не больше 21n.
- Оцениваем число строк
При n=14 вся сумма не больше 21·14=294<311 — мало даже при самых больших суммах строк. При n=16 вся сумма не меньше 20·16=320>311 — слишком много. Меньшие и большие n тем более не подходят. Остаётся n=15: 20·15=300≤311≤315=21·15.
- Убеждаемся, что такая таблица существует
При 15 строках нужно 11 строк с суммой 21 и 4 с суммой 20: 21·11+20·4=311. Пример: 3 строки (5, 8, 8); 4 строки (6, 6, 8); 8 строк (7, 7, 7). Суммы по столбцам получаются ровно 95, 104, 112.
Ответ: 15