Условие
В таблице 3 столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы записали натуральное число так, что сумма чисел в первом столбце равна 83, во втором — 92, в третьем — 99, а сумма чисел в каждой строке больше 11, но меньше 14. Сколько строк в таблице?
Подсказка
Сложите все числа таблицы двумя способами: по столбцам и по строкам.
Какие значения может принимать сумма одной строки? Оцените через них число строк сверху и снизу.
Показать ответ
22
Пошаговое решение
- Находим сумму всех чисел таблицы
Все числа можно сложить по столбцам: 83+92+99=274. Если складывать по строкам, получится то же число 274.
- Понимаем, какой бывает сумма строки
Сумма строки — натуральное число больше 11 и меньше 14, то есть 12 или 13. Если строк n, то вся сумма не меньше 12n и не больше 13n.
- Оцениваем число строк
При n=21 вся сумма не больше 13·21=273<274 — мало даже при самых больших суммах строк. При n=23 вся сумма не меньше 12·23=276>274 — слишком много. Меньшие и большие n тем более не подходят. Остаётся n=22: 12·22=264≤274≤286=13·22.
- Убеждаемся, что такая таблица существует
При 22 строках нужно 10 строк с суммой 13 и 12 с суммой 12: 13·10+12·12=274. Пример: 3 строки (2, 5, 5); 9 строк (3, 3, 6); 10 строк (5, 5, 3). Суммы по столбцам получаются ровно 83, 92, 99.
Ответ: 22