Условие
Обменный автомат выполняет две операции: выдаёт 5 серебряных и 1 медную монету в обмен на 4 золотые; выдаёт 2 золотые и 1 медную монету в обмен на 7 серебряных. У Лены вначале были только серебряные монеты. После нескольких обменов у неё оказалось 45 медных монет и ни одной золотой, а серебряных стало меньше, чем было. На сколько уменьшилось число серебряных монет?
Подсказка
Обозначьте число операций каждого вида и заметьте: каждая операция даёт одну медную монету.
Золотых монет не было ни в начале, ни в конце — составьте из этого второе уравнение.
Показать ответ
135
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть операция «4 золотые → 5 серебр. + 1 медная» выполнена x раз, а операция «7 серебряных → 2 золотые + 1 медная» — y раз. Каждая операция приносит ровно одну медную монету, поэтому x+y=45.
- Составляем баланс золотых монет
Золотых вначале не было и в конце нет, значит, сколько золотых получено, столько и отдано: 2y=4x.
- Решаем систему
Из 2y=4x следует, что x:y=2:4=1:2. Всего операций 45, это 1+2=3 равных частей по 45:3=15. Значит, x=1·15=15, y=2·15=30. Проверка: 2·30=60 и 4·15=60.
- Считаем изменение серебра
Серебряных отдано 7·30=210, получено 5·15=75. Число серебряных уменьшилось на 210−75=135.
- Проверяем, что такие обмены возможны
Вначале золота нет, поэтому первой идёт операция второго вида; дальше можно чередовать операции так, чтобы золота хватало. После всех 15+30=45 обменов золото израсходовано полностью. Частая ошибка — ответить 45: это число медных монет, а не изменение серебра.
Ответ: 135