Условие
В тесте 20 вопросов. За каждый верный ответ начисляют 8 баллов, за каждый неверный снимают 5 баллов, за вопрос без ответа баллы не начисляют и не снимают. Ученик набрал 48 баллов, причём хотя бы на один вопрос он ответил неверно. Сколько верных ответов дал ученик?
Подсказка
Составьте уравнение для числа верных и неверных ответов.
Посмотрите, на что должно делиться число неверных ответов, и не забудьте про общее число вопросов.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
Пусть верных ответов c, неверных w. Тогда 8c−5w=48, причём w≥1 (есть хотя бы одна ошибка) и c+w≤20 (вопросов всего 20).
- Выясняем, каким может быть w
Перепишем: 8c=48+5w. Левая часть делится на 8, число 48 тоже делится на 8 (48=8·6), значит, 5w делится на 8. Числа 5 и 8 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому само w делится на 8: w=0, 8, 16, …
- Перебираем подходящие значения
w=0 не подходит: ошибка была. При w=8: 8c=48+40=88, c=11; всего ответов 11+8=19≤20 — подходит. При w=16: c=6+10=16, и тогда c+w=32>20 — вопросов не хватит. Большие w тем более не подходят.
- Проверяем ответ
8·11−5·8=88−40=48 баллов, отвечено на 19 вопросов из 20. Без условия про ошибку подошёл бы и вариант c=6, w=0 — именно поэтому это условие дано.
Ответ: 11