Условие
Обменный автомат выполняет две операции: выдаёт 1 серебряную и 1 медную монету в обмен на 3 золотые; выдаёт 3 золотые и 1 медную монету в обмен на 4 серебряных. У Артёма вначале были только серебряные монеты. После нескольких обменов у него оказалось 36 медных монет и ни одной золотой, а серебряных стало меньше, чем было. На сколько уменьшилось число серебряных монет?
Подсказка
Обозначьте число операций каждого вида и заметьте: каждая операция даёт одну медную монету.
Золотых монет не было ни в начале, ни в конце — составьте из этого второе уравнение.
Показать ответ
54
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть операция «3 золотые → 1 серебр. + 1 медная» выполнена x раз, а операция «4 серебряных → 3 золотые + 1 медная» — y раз. Каждая операция приносит ровно одну медную монету, поэтому x+y=36.
- Составляем баланс золотых монет
Золотых вначале не было и в конце нет, значит, сколько золотых получено, столько и отдано: 3y=3x.
- Решаем систему
Из 3y=3x следует, что x:y=3:3=1:1. Всего операций 36, это 1+1=2 равных частей по 36:2=18. Значит, x=1·18=18, y=1·18=18. Проверка: 3·18=54 и 3·18=54.
- Считаем изменение серебра
Серебряных отдано 4·18=72, получено 1·18=18. Число серебряных уменьшилось на 72−18=54.
- Проверяем, что такие обмены возможны
Вначале золота нет, поэтому первой идёт операция второго вида; дальше можно чередовать операции так, чтобы золота хватало. После всех 18+18=36 обменов золото израсходовано полностью. Частая ошибка — ответить 36: это число медных монет, а не изменение серебра.
Ответ: 54