Условие
Обменный автомат выполняет две операции: выдаёт 4 серебряные и 1 медную монету в обмен на 3 золотые; выдаёт 2 золотые и 1 медную монету в обмен на 6 серебряных. У Коли вначале были только серебряные монеты. После нескольких обменов у него оказалось 40 медных монет и ни одной золотой, а серебряных стало меньше, чем было. На сколько уменьшилось число серебряных монет?
Подсказка
Обозначьте число операций каждого вида и заметьте: каждая операция даёт одну медную монету.
Золотых монет не было ни в начале, ни в конце — составьте из этого второе уравнение.
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Вводим обозначения
Пусть операция «3 золотые → 4 серебр. + 1 медная» выполнена x раз, а операция «6 серебряных → 2 золотые + 1 медная» — y раз. Каждая операция приносит ровно одну медную монету, поэтому x+y=40.
- Составляем баланс золотых монет
Золотых вначале не было и в конце нет, значит, сколько золотых получено, столько и отдано: 2y=3x.
- Решаем систему
Из 2y=3x следует, что x:y=2:3. Всего операций 40, это 2+3=5 равных частей по 40:5=8. Значит, x=2·8=16, y=3·8=24. Проверка: 2·24=48 и 3·16=48.
- Считаем изменение серебра
Серебряных отдано 6·24=144, получено 4·16=64. Число серебряных уменьшилось на 144−64=80.
- Проверяем, что такие обмены возможны
Вначале золота нет, поэтому первой идёт операция второго вида; дальше можно чередовать операции так, чтобы золота хватало. После всех 16+24=40 обменов золото израсходовано полностью. Частая ошибка — ответить 40: это число медных монет, а не изменение серебра.
Ответ: 80