Условие
Турист за несколько дней прошёл 80 км, каждый день проходя целое число километров, причём ни в какие два дня он не прошёл одинаковое расстояние, и каждый день шёл. Какое наибольшее число дней мог длиться поход?
Подсказка
Какой наименьшей может быть сумма нескольких различных натуральных чисел?
Оцените количество через сумму 1+2+3+… и затем постройте пример.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Переводим условие на язык чисел
Нужно записать 80 в виде суммы попарно различных натуральных чисел и сделать слагаемых как можно больше: каждое слагаемое — это число километров за один день, а число слагаемых — это число дней.
- Получаем оценку
Если слагаемых m, то, расположив их по возрастанию, получим числа не меньше 1, 2, 3, …, m. Поэтому их сумма не меньше 1+2+…+m=m(m+1)/2. При m=13: 13·14/2=91>80 — 13 слагаемых уже не поместятся, тем более больше.
- Строим пример
Для 12 слагаемых возьмём 1, 2, …, 11 и добавим недостающее: 1+2+…+11=66, последнее слагаемое 80−66=14. Все 12 чисел разные (последнее больше 11), сумма равна 80.
- Делаем вывод
Больше 12 нельзя, а 12 можно, значит, ответ 12. Заметим: 1+2+…+12=78≤80, и остаток 2 просто добавлен к самому большому слагаемому.
Ответ: 12