Условие
Вова забыл последнюю цифру кода домофона, но помнит, что она больше 5. Он пробует цифры наугад, не повторяясь. Найдите вероятность того, что дверь откроется не более чем с третьей попытки.
Подсказка
Выпишите цифры, которые больше 5: только среди них может быть верная.
После каждой неудачной попытки число оставшихся вариантов уменьшается на один.
Показать ответ
0,75
Пошаговое решение
- Считаем возможные цифры
Цифра больше 5. Значит, возможных цифр 4: 6, 7, 8, 9. Каждая из них с одинаковой вероятностью может оказаться верной.
- Находим вероятность угадать с каждой попытки
Цифры не повторяются, поэтому после неудачи вариантов становится на один меньше. Вероятность, что впервые повезёт именно на данной попытке (сначала все неудачи, потом успех): 1-я попытка: 1/4; 2-я попытка: 3/4·1/3=1/4; 3-я попытка: 3/4·2/3·1/2=1/4. Например, для 2-й попытки: сначала ошибка (неверны 3 из 4 цифр), затем верная цифра среди 3 оставшихся.
- Складываем несовместные случаи
«Не более 3 попыток» — значит, угадал с 1-й, или со 2-й, или с 3-й. Эти случаи не пересекаются: P=3·1/4=3/4=0,75.
- Проверяем другим рассуждением
Порядок перебора возможных цифр случаен, и верная цифра с равной вероятностью стоит на любом из 4 мест в этом порядке. Подходят первые 3 места: 3/4.
Ответ: 0,75