ЕГЭ БАЗА, задание 8: Логические рассуждения

Сложите числа знакомых всех людей: сколько раз при этом учтено каждое знакомство?

Если кто-то знаком со всеми, то ни у кого в компании не может быть нуля знакомых.

Чтобы доказать, что ситуация возможна, нарисуйте людей точками, а знакомства — отрезками.

1. Вспоминаем два полезных факта

   Сумма чисел знакомых по всей компании равна удвоенному числу знакомств, поэтому она чётная. Кроме того, в компании из n человек у каждого может быть от 0 до n−1 знакомых, и если у кого-то n−1 знакомых, то он знаком со всеми — значит, человека без знакомых в компании нет.

2. Проверяем утверждение 1

   «В компании из 5 человек у одного может быть 4 знакомых, у двоих — по 3, у двоих — по 2» — верно. Сумма 4+3+3+2+2=14 чётная. Пример: A знаком со всеми (B, C, D, E), кроме того, B знаком с C и D, а C — с E. Тогда у B 3 знакомых (A, C, D), у C 3 (A, B, E), у D 2 (A, B), у E 2 (A, C).

3. Проверяем утверждение 2

   «В компании из 6 человек у всех может быть разное число знакомых» — неверно. У каждого от 0 до 5 знакомых — это всего шесть разных чисел. Если у шести человек числа разные, то встречаются все шесть, в том числе 5 и 0. Но тот, у кого 5 знакомых, знаком со всеми, и в том числе с тем, у кого знакомых нет, — противоречие. Сумма 5+4+3+2+1+0=15 к тому же нечётная.

4. Проверяем утверждение 3

   «В компании из 5 человек каждый может быть знаком ровно с одним человеком» — неверно. Сумма 5·1=5 нечётная. Иначе: знакомые разбиваются на пары, а пятеро на пары не делятся.

5. Проверяем утверждение 4

   «В компании из 6 человек каждый может быть знаком ровно с двумя другими» — верно. Посадим шестерых по кругу, каждый знаком с двумя соседями.

6. Записываем ответ

   Верны утверждения 1 и 4. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 14.

Ответ: 14