Условие
В волейбольном турнире участвовали 6 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному матчу; ничьих в волейболе не бывает. Выберите утверждения, которые верны при любых результатах турнира. 1) Найдётся команда, одержавшая не менее трёх побед. 2) Каждая команда одержала хотя бы одну победу. 3) Найдётся команда, проигравшая не менее трёх матчей. 4) Найдётся команда, одержавшая не менее четырёх побед. В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Сосчитайте число партий как число пар участников.
Сравните общее число побед с тем, что получилось бы, если бы у всех побед было мало (или много).
Для опровержения постройте конкретную таблицу результатов.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Считаем партии и победы
Матчей 6·5:2=15: каждая команда провела 5 матчей, а 6·5=30 считает каждый матч дважды. В каждом матче одна победа и одно поражение, поэтому побед 15 и поражений 15, в среднем по 15:6=2,5 на команду.
- Проверяем утверждение 1
«Найдётся команда, одержавшая не менее трёх побед» — верно. Если бы у каждой было не больше двух побед, всего побед было бы не больше 6·2=12, а их 15.
- Проверяем утверждение 2
«Каждая команда одержала хотя бы одну победу» — неверно. Пусть сильнейшая команда обыграла всех, вторая — всех, кроме первой, и так далее. Тогда победы 5, 4, 3, 2, 1, 0 — у последней команды побед нет.
- Проверяем утверждение 3
«Найдётся команда, проигравшая не менее трёх матчей» — верно. Поражений тоже 15. Если бы у каждой команды было не больше двух поражений, их было бы не больше 6·2=12.
- Проверяем утверждение 4
«Найдётся команда, одержавшая не менее четырёх побед» — неверно. Пример: команды стоят по кругу, и каждая обыгрывает две следующие — это 12 матчей, по 2 победы у всех. Оставшиеся 3 матча «через одну» (1–4, 2–5, 3–6) выигрывают команды 1, 2, 3. Итог: 3, 3, 3, 2, 2, 2 — ни у кого нет четырёх побед.
- Записываем ответ
Верны утверждения 1 и 3. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 13.
Ответ: 13