ЕГЭ БАЗА, задание 8: Логические рассуждения

Сложите числа знакомых всех людей: сколько раз при этом учтено каждое знакомство?

Если кто-то знаком со всеми, то ни у кого в компании не может быть нуля знакомых.

Чтобы доказать, что ситуация возможна, нарисуйте людей точками, а знакомства — отрезками.

1. Вспоминаем два полезных факта

   Каждое знакомство связывает двух людей, поэтому сумма чисел знакомых всех людей равна удвоенному числу знакомств — она чётная. Ещё полезно помнить: тот, кто знаком со всеми, увеличивает число знакомых у каждого.

2. Проверяем утверждение 1

   «В компании из 4 человек у одного может быть 3 знакомых, у двоих — по 2, а у одного — 1 знакомый» — верно. Пример: A знаком с B, C и D; кроме того, B знаком с C. Тогда у A 3 знакомых, у B и C по 2, у D — 1.

3. Проверяем утверждение 2

   «В компании из 5 человек двое могут быть знакомы со всеми, а трое других — ровно с одним человеком» — неверно. Каждый из троих «малознакомых» знаком с обоими, кто знает всех, — у него хотя бы два знакомых.

4. Проверяем утверждение 3

   «В компании из 6 человек каждый может быть знаком ровно с одним человеком» — верно. Разобьём шестерых на три пары; каждый знаком только со своим напарником.

5. Проверяем утверждение 4

   «В компании из 3 человек двое могут быть знакомы с обоими остальными, а третий — ровно с одним» — неверно. Сумма 2+2+1=5 нечётная — так не бывает. Иначе: оба «общительных» знакомы с третьим, и у него два знакомых.

6. Записываем ответ

   Верны утверждения 1 и 3. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 13.

Ответ: 13