ЕГЭ БАЗА, задание 8: Логические рассуждения

Сложите числа знакомых всех людей: сколько раз при этом учтено каждое знакомство?

Если кто-то знаком со всеми, то ни у кого в компании не может быть нуля знакомых.

Чтобы доказать, что ситуация возможна, нарисуйте людей точками, а знакомства — отрезками.

1. Вспоминаем два полезных факта

   Сложим по всем людям числа их знакомых. Каждое знакомство связывает двоих, поэтому при сложении оно посчитано дважды — сумма всегда чётная. Кроме того, человек, знакомый со всеми, знаком и с каждым «малознакомым».

2. Проверяем утверждение 1

   «В компании из 5 человек каждый может быть знаком ровно с тремя другими» — неверно. Сумма чисел знакомых была бы 5·3=15 — нечётная, а она обязана быть чётной.

3. Проверяем утверждение 2

   «В компании из 6 человек каждый может быть знаком ровно с тремя другими» — верно. Сумма 6·3=18 чётная, и пример есть: разобьём шестерых на две тройки, и пусть каждый знаком со всеми из другой тройки (по 3 знакомых у каждого).

4. Проверяем утверждение 3

   «В компании из 4 человек двое могут быть знакомы со всеми остальными, а двое других — только с одним человеком» — неверно. Каждый из «малознакомых» знаком с обоими, кто знает всех, — то есть у него не меньше двух знакомых, а не один.

5. Проверяем утверждение 4

   «В компании из 5 человек каждый может быть знаком ровно с двумя другими» — верно. Посадим пятерых по кругу и пусть каждый знаком только с двумя соседями.

6. Записываем ответ

   Верны утверждения 2 и 4. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 24.

Ответ: 24