Условие
В турнире по настольному теннису участвовали 5 спортсменов. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию; ничьих в теннисе не бывает. Выберите утверждения, которые верны при любых результатах турнира. 1) Всего в турнире было сыграно 10 партий. 2) Найдётся участник, выигравший не менее двух партий. 3) Найдётся участник, не выигравший ни одной партии. 4) Найдутся два участника с одинаковым числом побед. В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Сосчитайте число партий как число пар участников.
Сравните общее число побед с тем, что получилось бы, если бы у всех побед было мало (или много).
Для опровержения постройте конкретную таблицу результатов.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Считаем партии и победы
Партий столько, сколько пар участников: 5·4:2=10. В каждой партии ровно одна победа, поэтому всего побед тоже 10, в среднем по 10:5=2 на участника.
- Проверяем утверждение 1
«Всего в турнире было сыграно 10 партий» — верно. Каждый из 5 участников сыграл 4 партии; произведение 5·4=20 считает каждую партию дважды, отсюда 10.
- Проверяем утверждение 2
«Найдётся участник, выигравший не менее двух партий» — верно. Если бы каждый выиграл не больше одной партии, побед было бы не больше 5, а их 10.
- Проверяем утверждение 3
«Найдётся участник, не выигравший ни одной партии» — неверно. Посадим игроков по кругу, и пусть каждый обыгрывает двух следующих за ним. Тогда у всех по 2 победы, и проигравших все партии нет.
- Проверяем утверждение 4
«Найдутся два участника с одинаковым числом побед» — неверно. Пусть сильнейший обыграл всех, второй — всех, кроме первого, и так далее. Числа побед 4, 3, 2, 1, 0 — все разные.
- Записываем ответ
Верны утверждения 1 и 2. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 12.
Ответ: 12