Условие
В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Подсказка
Условие «среди любых k есть хотя бы один X» равносильно тому, что «не-X» меньше k.
Получите две оценки сверху и сравните их сумму с общим количеством.
Если сумма верхних оценок равна общему числу, каждая оценка достигается точно.
Показать ответ
19
Пошаговое решение
- Переводим условие «среди любых 12» на язык количеств
«Среди любых 12 грибов есть хотя бы один рыжик» означает, что груздей меньше 12. Действительно, если бы груздей было 12 или больше, можно было бы взять 12 груздей — и среди них ни одного рыжика. Значит, груздей не больше 12−1=11.
- Переводим условие «среди любых 20»
Точно так же разберём условие «среди любых 20 грибов есть хотя бы один груздь». Если бы рыжиков было 20 или больше, можно было бы набрать 20 грибов, среди которых ни одного груздя. Поэтому рыжиков не больше 20−1=19.
- Складываем оценки
Всего грибов 30, а рыжиков не больше 19 и груздей не больше 11. Но 19+11=30. Если хотя бы одна оценка не достигается, в сумме получится меньше 30. Значит, рыжиков ровно 19, а груздей ровно 11.
- Проверяем
Пусть рыжиков 19, груздей 11. Любые 12 грибов не могут состоять только из 11 груздей, значит, среди них есть рыжик. Любые 20 грибов не могут состоять только из 19 рыжиков. Оба условия выполнены.
Ответ: 19