Условие
В аквариуме плавают 25 рыбок: гуппи и меченосцы. Известно, что среди любых 9 рыбок есть хотя бы один меченосец, а среди любых 18 рыбок — хотя бы одна гуппи. Сколько гуппи в аквариуме?
Подсказка
Условие «среди любых k есть хотя бы один X» равносильно тому, что «не-X» меньше k.
Получите две оценки сверху и сравните их сумму с общим количеством.
Если сумма верхних оценок равна общему числу, каждая оценка достигается точно.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Переводим условие «среди любых 18» на язык количеств
«Среди любых 18 рыбок есть хотя бы одна гуппи» означает, что меченосцев меньше 18. Действительно, если бы меченосцев было 18 или больше, можно было бы взять 18 меченосцев — и среди них ни одной гуппи. Значит, меченосцев не больше 18−1=17.
- Переводим условие «среди любых 9»
Точно так же разберём условие «среди любых 9 рыбок есть хотя бы один меченосец». Если бы гуппи было 9 или больше, можно было бы набрать 9 рыбок, среди которых ни одного меченосца. Поэтому гуппи не больше 9−1=8.
- Складываем оценки
Всего рыбок 25, а гуппи не больше 8 и меченосцев не больше 17. Но 8+17=25. Если хотя бы одна оценка не достигается, в сумме получится меньше 25. Значит, гуппи ровно 8, а меченосцев ровно 17.
- Проверяем
Пусть гуппи 8, меченосцев 17. Любые 18 рыбок не могут состоять только из 17 меченосцев, значит, среди них есть гуппи. Любые 9 рыбок не могут состоять только из 8 гуппи. Оба условия выполнены.
Ответ: 8