Условие
На полке стоят 32 книги: учебники и словари. Известно, что среди любых 16 книг есть хотя бы один словарь, а среди любых 18 книг — хотя бы один учебник. Сколько словарей на полке?
Подсказка
Условие «среди любых k есть хотя бы один X» равносильно тому, что «не-X» меньше k.
Получите две оценки сверху и сравните их сумму с общим количеством.
Если сумма верхних оценок равна общему числу, каждая оценка достигается точно.
Показать ответ
17
Пошаговое решение
- Переводим условие «среди любых 16» на язык количеств
«Среди любых 16 книг есть хотя бы один словарь» означает, что учебников меньше 16. Действительно, если бы учебников было 16 или больше, можно было бы взять 16 учебников — и среди них ни одного словаря. Значит, учебников не больше 16−1=15.
- Переводим условие «среди любых 18»
Точно так же разберём условие «среди любых 18 книг есть хотя бы один учебник». Если бы словарей было 18 или больше, можно было бы набрать 18 книг, среди которых ни одного учебника. Поэтому словарей не больше 18−1=17.
- Складываем оценки
Всего книг 32, а словарей не больше 17 и учебников не больше 15. Но 17+15=32. Если хотя бы одна оценка не достигается, в сумме получится меньше 32. Значит, словарей ровно 17, а учебников ровно 15.
- Проверяем
Пусть словарей 17, учебников 15. Любые 16 книг не могут состоять только из 15 учебников, значит, среди них есть словарь. Любые 18 книг не могут состоять только из 17 словарей. Оба условия выполнены.
Ответ: 17