Условие
В классе 20 учеников. За контрольную работу каждый получил оценку 3, 4 или 5, а средний балл класса оказался равен 4,5. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Хотя бы один ученик получил пятёрку. 2) Хотя бы один ученик получил тройку. 3) Пятёрки получили не менее 10 учеников. 4) Четвёрок получено больше, чем троек. В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Умножьте средний балл на число людей — получится сумма всех оценок.
Сравнивайте каждую оценку с одной «базовой» и считайте, сколько баллов она добавляет или отнимает.
Для опровержения составьте конкретный набор оценок с нужным средним баллом.
Показать ответ
13
Пошаговое решение
- Переходим от среднего балла к сумме
Сумма всех оценок равна 20·4,5=90. Если бы все получили тройки, сумма была бы 20·3=60; каждая четвёрка добавляет к этому 1 балл, каждая пятёрка — 2 балла. Значит, (число четвёрок)+2·(число пятёрок)=90−60=30.
- Проверяем утверждение 1
«Хотя бы один ученик получил пятёрку» — верно. Без пятёрок у каждого не больше 4 баллов, и средний балл был бы не больше 4, а он равен 4,5.
- Проверяем утверждение 2
«Хотя бы один ученик получил тройку» — неверно. Пример без троек: 10 пятёрок и 10 четвёрок, сумма 50+40=90, средний балл 90:20=4,5.
- Проверяем утверждение 3
«Пятёрки получили не менее 10 учеников» — верно. Пусть пятёрок p. Остальные 20−p учеников дают не больше чем по 1 добавочному баллу, поэтому 30≤2p+(20−p)=20+p, откуда p≥10.
- Проверяем утверждение 4
«Четвёрок получено больше, чем троек» — неверно. Пример: 15 пятёрок и 5 троек, четвёрок нет. Сумма 75+15=90, средний балл 4,5, а четвёрок (0) меньше, чем троек (5).
- Записываем ответ
Верны утверждения 1 и 3. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 13.
Ответ: 13