Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB=25, cos A=0,8. Найдите BH.
Подсказка
Найдите sin A из основного тригонометрического тождества.
Угол BCH равен углу A: оба дополняют угол B до 90°.
Сначала найдите катет BC, затем рассмотрите треугольник BCH.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Находим синус угла A
Из основного тригонометрического тождества sin²A+cos²A=1: sin²A=1−0,8²=1−0,64=0,36, sin A=0,6 (угол A острый, синус положителен).
- Находим катет BC в треугольнике ABC
В прямоугольном треугольнике ABC катет BC лежит против угла A, поэтому sin A=BC/AB. Отсюда BC=AB·sin A=25·0,6=15.
- Замечаем равный угол в треугольнике BCH
В прямоугольном треугольнике BCH (угол H прямой) угол BCH равен 90°−∠B. В треугольнике ABC тоже ∠A=90°−∠B. Значит, ∠BCH=∠A, и отрезок BH лежит против этого угла.
- Находим BH
В треугольнике BCH гипотенуза BC=15, катет BH противолежит углу BCH=∠A, поэтому BH=BC·sin A=15·0,6=9.
- Проверяем через второй отрезок
AC=AB·cos A=25·0,8=20, AH=AC·cos A=20·0,8=16. Сумма AH+BH=16+9=25=AB — всё сходится. Типичная ошибка — ответить AH вместо BH.
Ответ: 9