Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны, AC=10, BD=16. Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Найдите площадь четырёхугольника KLMN.
Подсказка
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, — его средняя линия.
Стороны KLMN параллельны диагоналям ABCD. Какой угол между ними?
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Смотрим на треугольники, отсекаемые диагональю AC
В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC, это средняя линия: KL ∥ AC и KL=AC/2=10/2=5. Так же в треугольнике ACD: NM ∥ AC и NM=5.
- То же для диагонали BD
В треугольниках ABD и BCD средние линии KN и LM параллельны BD и равны BD/2=16/2=8.
- Определяем вид четырёхугольника KLMN
Противоположные стороны KL и NM равны и параллельны, значит, KLMN — параллелограмм. Его стороны параллельны диагоналям AC и BD, а они перпендикулярны. Поэтому углы KLMN прямые: это прямоугольник.
- Считаем площадь
S(KLMN)=KL·LM=5·8=40. Проверка: площадь ABCD с перпендикулярными диагоналями равна ½·10·16=80, а четырёхугольник середин занимает ровно её половину: 80/2=40.
Ответ: 40