Условие
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол между высотой CH и медианой CM равен 24°. Найдите меньший острый угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Чему равна медиана, проведённая к гипотенузе?
Найдите в треугольнике BMC равные углы и выразите угол HCM через угол B.
Показать ответ
33
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойство медианы к гипотенузе
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM=AM=MB. Поэтому треугольники AMC и BMC равнобедренные.
- Выражаем углы через меньший острый угол
Пусть меньший острый угол треугольника — угол B (на рисунке ∠B<∠A), обозначим его x. В равнобедренном треугольнике BMC углы при основании равны: ∠MCB=∠B=x. В прямоугольном треугольнике BCH ∠BCH=90°−x.
- Составляем уравнение
Высота лежит ближе к большему углу A, поэтому луч CM находится между CH и CB, и ∠HCM=∠BCH−∠MCB=(90°−x)−x=90°−2x. По условию 90°−2x=24°.
- Решаем уравнение
2x=90°−24°=66°, x=33°. Больший острый угол равен 90°−33°=57°; спрашивают меньший. Проверка: ∠A−∠B=57°−33°=24° — угол между высотой и медианой равен разности острых углов.
Ответ: 33