Условие
Основания трапеции ABCD равны BC=6 и AD=15, боковая сторона AB равна 12. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке P. Найдите длину отрезка PB.
Подсказка
Треугольник, отсечённый продолжениями боковых сторон, подобен большому треугольнику PAD.
Выразите PA через PB и AB и составьте пропорцию.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Находим подобные треугольники
BC ∥ AD, поэтому угол PBC = угол PAD и угол PCB = угол PDA как соответственные углы, угол P общий. Треугольники PBC и PAD подобны по двум углам.
- Записываем отношение сторон
Коэффициент подобия равен отношению оснований: PB/PA=BC/AD=6/15=2/5. Точка B лежит между P и A, поэтому PA=PB+AB=PB+12.
- Решаем уравнение
PB/(PB+12)=2/5, то есть 5·PB=2·(PB+12), 3·PB=24, PB=8.
- Проверяем
PA=8+12=20, и 8/20=2/5=6/15. Типичная ошибка — считать PB/AB=6/15: подобны треугольники PBC и PAD, и сравнивать надо PB со всей стороной PA.
Ответ: 8