Условие
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что BD=8, DC=12, а периметр треугольника ABC равен 60. Найдите AC.
Подсказка
Сначала найдите сумму AB+AC из периметра.
Биссектриса делит сторону BC в отношении прилежащих сторон AB и AC.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Находим сумму двух неизвестных сторон
BC=BD+DC=8+12=20. Периметр равен AB+AC+BC, поэтому AB+AC=60−20=40.
- Применяем свойство биссектрисы
Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: AB/AC=BD/DC=8/12=2/3. Отрезок BD прилегает к стороне AB, а DC — к стороне AC.
- Делим сумму в нужном отношении
Пусть AB=(2/3)·AC. Тогда (2/3)·AC+AC=40, то есть (5/3)·AC=40, AC=40·(3/5)=24. Тогда AB=40−24=16.
- Проверяем
AB:AC=16:24=2/3, как и BD:DC; стороны 16, 24, 20 удовлетворяют неравенству треугольника, их сумма 60. Ошибка — сопоставить AC с отрезком BD: тогда получится 16.
Ответ: 24