Условие
Площадь треугольника ABC равна 75. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках D и E, причём BD:DA=2:3. Найдите площадь четырёхугольника ADEC.
Подсказка
Какие треугольники подобны, если DE∥AC?
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
Показать ответ
63
Пошаговое решение
- Доказываем подобие
DE∥AC, поэтому соответственные углы равны: ∠BDE=∠BAC, ∠BED=∠BCA. Значит, треугольник DBE подобен треугольнику ABC по двум углам.
- Находим коэффициент подобия
Сходственные стороны — BD и BA. Если BD=2 части, DA=3 части, то BA=2+3=5 частей, и k=BD/BA=2/5. Ошибка — взять k=BD/DA=2/3: сравнивать нужно со всей стороной.
- Находим площадь маленького треугольника
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S(DBE)=S(ABC)·k²=75·(2/5)²=75·(4/25)=12.
- Вычитаем
Четырёхугольник ADEC — это треугольник ABC без треугольника DBE: S(ADEC)=75−12=63.
Ответ: 63