Условие
В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 2. Гипотенуза треугольника равна 13. Найдите площадь этого треугольника.
Подсказка
Отрезки касательных из вершины прямого угла равны радиусу.
Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Отмечаем отрезки касательных
Пусть C — вершина прямого угла, O — центр окружности. Радиусы, проведённые в точки касания на катетах, перпендикулярны катетам, поэтому вместе с вершиной C они образуют квадрат со стороной r=2. Значит, от вершины C до точек касания на обоих катетах по 2.
- Выражаем гипотенузу через катеты
Отрезки касательных из одной вершины равны. Из вершины A на катет и на гипотенузу приходится по AC−2, из вершины B — по BC−2. Гипотенуза состоит из этих двух отрезков: AB=(AC−2)+(BC−2), то есть AC+BC=AB+2r=13+2·2=17.
- Находим полупериметр
Периметр равен AC+BC+AB=17+13=30, полупериметр p=30:2=15.
- Вычисляем площадь по формуле S=p·r
Площадь любого треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: S=15·2=30.
- Проверяем через катеты
(AC+BC)²=17²=289 и AC²+BC²=13²=169, поэтому 2·AC·BC=289−169=120, AC·BC=60, S=AC·BC/2=30. Катеты равны 5 и 12: 5+12=17, 5²+12²=169. Совпало.
Ответ: 30